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Números Primos e Compostos
Números Primos e Compostos
Em seguida, vamos partir para os conceitos de número composto e número primo.
Há uma maneira simples, que pode ser usada, para encontrar números primos. É pelo chamado Crivo de Eratóstenes, concebido por Ératóstenes, um matemático grego que viveu entre os anos 275 e 194 a. C.
Números Primos e Números Compostos. Aprenda a diferenciá-los.
Você sabe o que é um número primo? Sabe diferenciar um número primo de um número composto? Conheça esses conceitos que levam em consideração algumas condições de divisibilidade dos números naturais.
O que são números primos? O que são números compostos? O número 1 é primo ou é composto? E o zero que tipo de número é?
Primeiramente, temos que relembrar os conceitos de divisor e divisibilidade (se tiver alguma dúvida, leia o artigo).
Outra coisa que precisamos deixar bem claro é o seguinte: “É terminantemente proibido dividir por zero”. Portanto, o zero nunca será divisor de nenhum número.
Em seguida, vamos partir para os conceitos de número composto e número primo.
Vamos considerar o conjunto dos números naturais (Quem quiser pode ler o artigo “Conjunto dos Números Naturais. O conjunto N.” para revisar):
N = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14,...}
VERIFICAÇÕES
Observemos o seguinte:
- o número 0 é divisível por 1, 2, 3, etc., ou seja, por todos os números naturais menos ele mesmo;
- O número 1 é divisível por 1, ou seja, apenas por ele mesmo;
- O número 2 é divisível por 1 e por 2, ou seja, por 1 e por ele mesmo;
- O número 3 é divisível por 1 e por 3, ou seja, por 1 e por ele mesmo;
- O número 4 é divisível por 1, 2 e 4, ou seja, por 1, por 2 e por ele mesmo;
- O número 5 é divisível por 1 e por 5, ou seja, por 1 e por ele mesmo;
- O número 6 é divisível por 1, 2, 3 e 6, ou seja, por 1, por ele mesmo, por 2 e por 3;
- O número 7 é divisível por 1 e por 7, ou seja, por 1 e por ele mesmo;
- O número 8 é divisível por 1, 2, 4 e 8, ou seja, por 1 por ele mesmo, por 2 e por 4;
- O número 9 é divisível por 1, 3 e 9, ou seja, por 1, por ele mesmo e por 3;
- O número 10 é divisível por 1, 2, 5 e 10, ou seja, por 1, por ele mesmo, por 2 e por 5;
- O número 11 é divisível por 1 e por 11, ou seja, por 1 e por ele, mesmo;
Dessa mesma maneira, poderíamos continuar listando todos os números naturais e verificar quais os divisores de cada um.
Mas por essa amostragem, já dá para notar que:
- há números que são divisíveis por mais de dois números. Ex: 0, 4, 6, 8, 9, 10.
- há números que são divisíveis apenas por dois números (por 1 e por ele mesmo). Ex: 2, 3, 5, 7, 11.
- há o número 1 que é divisível apenas por ele mesmo.
Partindo-se dessas três observações, podemos dar algumas definições:
NÚMEROS COMPOSTOS
Um número natural é composto quando ele é divisível por mais de dois números distintos
Ex.: 0, 4, 6, 8, 10, 12, 14, 15, 16 e todos os números que tiverem mais que dois divisores.
Note que o número zero é um número composto
NÚMEROS PRIMOS
Um número natural é primo quando ele é divisível por exatamente dois números distintos, ou seja, por 1 e por ele mesmo.
Ex.: 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23 e todos os números que tiverem apenas dois divisores (o 1 e ele mesmo).
NÚMERO UM
O número 1 não é primo nem composto.
Apenas o número 1 é divisível por um número só (ele mesmo). Ele não é chamado nem de número primo, nem de número composto.
Reconhecendo Números Primos
Você sabe reconhecer quando um número é primo? Conheça o Crivo de Eratóstenes e a Regra geral para reconhecimento de números primos. Veja Exemplos de verificação.
Como fazer para descobrir se um número qualquer éprimo ou não? O que é crivo de Eratóstenes?
Já sabemos que todo número natural é divisível, pelo menos, por 1 e por ele mesmo.
Sabemos também que, número primo é aquele divisível, apenas, por 1 e por ele mesmo.
Os primeiros números primos, menores que 15, por exemplo, são fáceis de reconhecer:
Há uma maneira simples, que pode ser usada, para encontrar números primos. É pelo chamado Crivo de Eratóstenes, concebido por Ératóstenes, um matemático grego que viveu entre os anos 275 e 194 a. C.
Vamos ver, por exemplo, como encontrar os números primos menores ou iguais a 31:
CRIVO DE ERATÓSTENES
1) Primeiramente, escrevemos os números de 2 a 31;
02 03 04 05 06 07 08 09 10 11 12 13 14 15 16
17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31
2) Agora sublinhamos o número 2 e riscamos todos os outros números divisíveis por dois, ou seja, riscamos os demais números pares;
02 03 04 05 06 07 08 09 10 11 12 13 14 15 16
17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31
3) Em seguida, sublinhamos o primeiro número não riscado, que é o 3, e riscamos todos os outros números divisíveis por 3.
02 03 04 05 06 07 08 09 10 11 12 13 14 15 16
17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31
4) Sublinhamos o primeiro número não riscado, que é o 5, e riscamos todos os outros números divisíveis por 5;
02 03 04 05 06 07 08 09 10 11 12 13 14 15 16
17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31
5) Prosseguindo dessa maneira até o final, os números sublinhados são números primos, pois não são divisíveis por nenhum dos seus antecessores;
02 03 04 05 06 07 08 09 10 11 12 13 14 15 16
17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31
Logo, os números naturais primos menores ou iguais a 31 são:
2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31
Entretanto, há infinitos números primos. Fica difícil fazer esse quadro para números grandes.
Então, como fazer para reconhecer se um número qualquer é primo ou composto?
REGRA DE RECONHECIMENTO
Para descobrirmos se um número é primo ou composto, basta apenas verificar se ele é divisível por um dos números primos anteriores a ele.
Para isso, efetuamos divisões sucessivas do número dado pelos números primos anteriores (2, 3, 5, 7, 11, 13,...) até conseguirmos uma das duas situações seguintes:
1) Obtemos um resto zero: neste caso o número não é primo, pois é divisível por outro número que não é nem 1, nem ele mesmo.
2) Obtemos um quociente menor ou igual ao divisor: neste caso o número é primo. (Note que não precisamos fazer as divisões indefinidamente, basta conseguir um quociente menor ou igual ao divisor, sem conseguir resto zero.).
Agora que temos a regra, vamos entender melhor fazendo dois exemplos:
EXEMPLOS
1) Vamos verificar se o número 197 é primo
Pelas regras que vimos no artigo de divisibilidade, já sabemos que 197 não é divisível por 2 (não é par), por 3 (a soma de seus algarismos não é divisível por 3) e nem por 5 (não termina pelos algarismos 0 ou 5).
Vejamos então, se é divisível por 7, 11, 13, 17, 19, etc.
197 : 7 = 28 com resto 1 => resto diferente de zero e quociente 28 maior que o divisor 7, então continuamos;
197 : 11 = 17 com resto 10 => resto diferente de zero e quociente 17 maior que o divisor 11, então continuamos;
197 : 13 = 15 com resto 2 => resto diferente de zero e quociente 15 maior que o divisor 13, então continuamos;
197 : 17 = 11 com resto 10 => resto diferente de zero e quociente 11 menor que o divisor 17. Paramos, o número é primo, pois, não encontramos nenhum resto igual a zero até obter um quociente menor que o divisor.
2) Vamos verificar se o número 253 é primo
Como no exemplo acima, já sabemos que 253 não é divisível por 2, nem por 3, nem por 5.
Vejamos se é divisível por 7, 11, 13, 17, 19, etc.
253 : 7 = 36 com resto 1 => resto diferente de zero e quociente 36 maior que o divisor 7, então continuamos;
253 : 11 = 23 com resto zero => Resto igual a zero. Paramos, o número não é primo, pois, como é divisível por 11, além de ser divisível por 1 e por ele mesmo, é um número composto.
CONCLUSÕES ÓBVIAS
1) Nenhum número par, exceto o 2, é primo;
2) Nenhum número terminado em 5, exceto o 5, é primo;
3) Nenhum número cuja soma dos algarismos dê um número divisível por 3, exceto o 3, é primo.